欧式股票看跌期权p

A. 如何证明欧式看涨期权与看跌期权价格的平价关系

假设两个投资组合
A: 一个看涨期权和一个无风险债券，看涨期权的行权价＝X，无风险债券的到期总收益=X
B: 一个看跌期权和一股标的股票，看跌期权的行权价格＝X，股票价格为S

投资组合A的价格为：看涨期权价格（C）＋无风险债券价格（PV(X)）。PV(X)为债券现值。
投资组合B的价格为：看跌期权价格（P）＋股票价格S

画图或者假设不同的到期情况可以发现，A、B的收益曲线完全相同。根据无套利原理，拥有相同收益曲线的两个投资组合价格必然相同。所以 C＋PV(X)=P+S，变形可得C-P=S-PV(X)

B. 写出欧式看涨期权和看跌期权平价公式并给出证明

C+Ke^(-rT)=P+S0

平价公式是根据无套利原则推导出来的。

构造两个投资组合。
1、看涨期权C，行权价K，距离到期时间T。现金账户Ke^(-rT)，利率r，期权到期时恰好变成K。
2、看跌期权P，行权价K，距离到期时间T。标的物股票，现价S0。

看到期时这两个投资组合的情况。
1、股价St大于K：投资组合1，行使看涨期权C，花掉现金账户K，买入标的物股票，股价为St。投资组合2，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为St。
2、股价St小于K：投资组合1，放弃行使看涨期权，持有现金K。投资组合2，行使看跌期权，卖出标的物股票，得到现金K
3、股价等于K：两个期权都不行权，投资组合1现金K，投资组合2股票价格等于K。

从上面的讨论我们可以看到，无论股价如何变化，到期时两个投资组合的价值一定相等，所以他们的现值也一定相等。根据无套利原则，两个价值相等的投资组合价格一定相等。所以我们可以得到C+Ke^(-rT)=P+S0。

C. 看涨期权看跌期权平价定理是什么

1、期权平价公式：C+ Ke^-r(T-t)=P+S。

2、公式含义：认购期权价格C与行权价K的现值之和等于认沽期权的价格P加上标的证券现价S。

3、符号解释：T-t:还有多少天合约到期；e的-r(T-t)次方是连续复利的折现系数；Ke^-r(T-t)：K乘以e的-r(T-t)次方,也就是K的现值。

4、推导过程：

构造两个投资组合:

组合A: 一份欧式看涨期权C,行权价K，距离到期时间T-t。现金账户Ke^-r(T-t)，利率r，期权到期时恰好变成行权价K。

组合B: 一份有效期和行权价格与看涨期权相同的欧式看跌期权P，加上一单位标的物股票S。

根据无套利原则推导：看到期时这两个投资组合的情况。

期权到期时，若股价ST大于K，投资组合A，将行使看涨期权C，花掉现金账户K，买入标的物股票，股价为ST。投资组合B，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为ST。

(3)欧式股票看跌期权p扩展阅读：

1、由于期权合约上书写的交易标的物不同，看涨期权可以是股票期权，股票指数期权、外汇期权、商品期权，也可以是利率期权，甚至是期货合约期权、掉期合约期权。

2、看涨期权让买方可以享受未来按约定价格购买特定交易标的物的权利，而没有相应的义务。当市场价格高于“X”时，期权持有人要求发行人履约，以“X”价格买入外汇。

而当市场价格低于“X”时，买方则放弃此一权利。期权买方购买外汇的价格不会高于“X”，而在远期交易中，不管将来市场价格如何，交易的价格都是约定的“X”。

3、看涨期权给予其所有者在某一特定日期或在此日期之前以特定的执行价格购买某种资产的权利。例如，一份执行价格为85美元的Exxon股票10月份到期看涨期权给予其所有者在10月份期满或到期之前以85美元的价格购买Exxon股票的权利。

每一份期权合约可用来购买100份股票，其价格是以一股标的股票为基础标明的。期权的持有者并不一定要执行这种权利。只有当标的资产的市场价值超过执行价格时，期权的持有者才会行使这种权利。

D. 期权比较

      前几天刷知乎，突然刷了到一条《有分红的美式看涨期权为什么可能会提前行权?》，回想自己立了flag之后又好久没写文章了，刚好以这个话题做一个更新。本期先就这个问题，做相关的推导和总结，期权太基础的内容本期就先不作普及了，之后看时间和精力，作一个由初级到中级的系列总结文章。当然，如果是高级的内容，如伊藤引理的推导这种，我自己到现在还糊里糊涂的，等我能搞定了再说吧。

      话说，期权在衍生品中属于一个比较复杂的存在，同时又在风险管理中占据着极为重要的地位。本文先 仅从理论上 简单的讨论比较下各种期权，如有错误的地方欢迎大家指正批评，讨论的结构如下：

结论：在股票不支付红利的情况下，美式看涨期权不应提前行权。美式看涨期权价值与欧式看涨期权价值相同。

原因： 美式期权若提前行权，不管到期时股票价格是否超过行权价，都不能获得本金的无风险收益。通俗点说就是，你现在花了本金X购买了股票，如到期时股票价格S<X,那你买亏了，多花本金了；如果到期是股票价格S>X，那你现在行权也亏了，因为你明明可以把钱放银行吃利息，等到期再行权。（当然，以上结论都是理论上的，实际并不完全是这样。）

推导：

假设投资者有两个投资组合。

组合1：买入一份   欧式看涨期权 c   并持有现金，现金等于期权的 行权价格 X 的现值 （以无风险利率进行折现）即 PV(X)。

组合2：持有股票S。

组合1中我们用持有的行权价格X的现值即PV(X)的现金进行投资，在 到期时获得现金X 。如果到期时股票 ，组合1会行权，即用 到期时获得的现金 以行权价X够买价值为 的股票；如果到期时 ，则组合1不会行权，仍持有 到期时获得的现金X 。

因此，组合1的到期价值为 。组合2的到期价值 。且有，组合1的到期价值始终大于等于组合2的到期价值。即 。

因为，组合1的现值为  即  ，组合2的现值为S。

根据无套利理论，则有 。

(注：无套利理论为  )

由于，期权价值不为负。所以有

                                                                                              （1.1）

由于，美式期权可随时行权，将组合1中的期权替换为 美式看涨期权 C ，若此刻想立即拥有股票，则要么立即行权，要么直接购买股票，对于期权则有

                                                                                                         (1.2)

因为  (意味着提前行权则无法享受无风险收益)，所以有 ，即（式1.1）>（式1.2），回到上文结论： 在股票不支付红利的情况下，美式看涨期权不应提前行权。美式看涨期权价值与欧式看涨期权价值相同。

结论：对于看跌期权，无论是否存在期间现金流，美式看跌期权的价格总是大于欧式看跌期权。

原因： 某些情况下，对于美式看跌期权而言，提前把资产抛出可以获得现金，而现金可以投资于无风险资产获得收益，于是提前行权获利更多。美式看跌期权相当于比欧式看跌期权有更多时间选择的权利。

推导： 假设投资者有两个投资组合：

组合1：买入一份 欧式看跌期权 p ，并且持有 股票 。

组合2：持有现金，且现金等于 执行价格 的现值， 。

组合1中，如果到期时 股票价格 大于行权价格 ，即 ，则不行权，期权价值为0，组合价值为 ；如果到期时 股票价格 小于行权价格 ，即 ，则期权行权，组合价值为 。因此，组合1的到期价值为  。

组合2的到期价值为  。

因此，组合1的终值始终大于组合2的终值：

根据无套利原理，组合1的现值始终大于组合2的现值：

由于，期权价值不为负，则欧式看跌期权有：

                                                                                            （2.1）

如果将组合1中的 欧式看跌期权p 替换为 美式看跌期权P，若想要拥有现金，要么行权（ 时以X卖出），要么直接卖出股票（ 时），对于期权则有：

                                                                                                  （2.2）

因为 (意味着提前行权可以用更多的现金投资获得无风险收益)，所以有（式2.2）>（式2.1），即在某些情况下，美式看跌期权提前行权收益大于持有到期收益。

结论：对于标的资产可带来现金流回报的看涨期权，在期权合约的存续期内，美式期权的价格高于可对比的欧式期权价格。

原因： 提前行权可获得现金流，提前行权获得的现金流进行投资收益可能会超过持有到期的收益。具体是否要提前行权要看获得的现金流大小及机会成本。

推导：假设投资者有两个投资组合。

组合1：买入一份  美式 看涨期权 c   并持有现金，现金等于期权的 行权价格 X 的现值 （以无风险利率进行折现）即 PV(X)。

组合2：持有股票 ，股票在未来 t 时刻将有一笔分红 。

因为，股票分红会导致股票价格下跌，因此，组合2的现值为： 。其他推导与上文类似。由此可知，美式看涨期权持有到期时（等同欧式看涨期权）价值为：

                                                                     (3.1)

(注：持有到期时，在t时刻股票会进行分红，因为此时并没有行权，即没有买入股票，则无法得到分红，同时股票价格还会下跌)

美式看涨期权提前行权时价值为：

                                                                                                         (3.2)

(注：若此刻立即行权，则股票还未进行分红，股价也并未下跌)

对比（式3.2）和（式3.1）可推出，若要有分红的看涨期权提前行权，则需要满足：

，得出 。

总结：

（1）如果分红的现值 ，则无论股价如何高，都不应该在除息日前行权。

（2）如果分红的现值 ，且股价足够高，在除息日前立刻行权最佳。这是因为，如果股价足够高，该期权为深度实值，到期大概率也会行权，那么在除息日前股价还未根据分红下调时行权则更佳。

结论：与看涨期权不同，看跌期权涉及卖出标的股票，提前行权意味着放弃未来的分红。因此，美式看跌期权的价格总是大于欧式看跌期权的价格。

根据上文类似的方法可以推导出结果了，此处细节省略，可得出：

欧式看跌期权

美式看跌期权立即行权时

。

E. 看涨期权看跌期权平价定理

看涨期权和看跌期权平价定理是：在套利驱动的均衡状态下，购买一股看涨期权、卖空1股股票、抛出1股看跌期权、借入资金购买1股股票的投资组合的收益应该为0 。
进行了这样的组合时投资人的投资成本正好为0，即投资时投资人没有掏一分钱，即投资额为0，因此其在期权到期时组合的净收入为0 ，这样的话市场才能均衡，否则如果不投资一分钱，反而能获利，则所有的投资人都会进行这样的操作了。
根据上面的原理，则看跌期权价格－看涨期权价格＋标的资产价格－执行价格现值＝0 。即看涨期权价格－看跌期权价值＝标的资产价格－执行价格现值。
拓展资料
具体推导过程如下：
1、期权平价公式：C+ Ke^-r(T-t)=P+S。
2、公式含义：认购期权价格C与行权价K的现值之和等于认沽期权的价格P加上标的证券现价S。
3、符号解释：T-t：还有多少天合约到期；e的-r(T-t)次方是连续复利的折现系数；Ke^-r(T-t)：K乘以e的-r(T-t)次方，也就是K的现值。
4、推导过程：
构造两个投资组合：
组合A： 一份欧式看涨期权C，行权价K，距离到期时间T-t。现金账户Ke^-r(T-t)，利率r，期权到期时恰好变成行权价K。
组合B： 一份有效期和行权价格与看涨期权相同的欧式看跌期权P，加上一单位标的物股票S。
根据无套利原则推导：看到期时这两个投资组合的情况。
期权到期时，若股价ST大于K，投资组合A，将行使看涨期权C，花掉现金账户K，买入标的物股票，股价为ST。投资组合B，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为ST。
期权的玩法很多——
初级玩法：买入看跌期权，跟股票或指数做对冲组合；
高阶玩法：卖期权赚权利金，也就是做期权的发行方；
投机玩法：期权的低买高卖。
对于一般投资者来说，多多的建议是我们在看好后市的同时，买入看跌期权以作风险对冲。
投资者买入股票或者指数，代表是看多，最大的风险就是暴跌，而看跌期权就是应对方式之一，等于给自己的持仓买个保险。
就像花100块买个意外险，出事就赔个30万，没事就交个保险费。
我们平时买入300ETF，涨了固然是好，暴跌就惨了。
为了应对黑天鹅，我们再买个看跌的沪深300ETF期权，股市好，300ETF赚钱，300ETF期权也就亏个期权费；股市不好，300ETF会亏钱，这时候300ETF期权行权，以高于市场价卖出300ETF。
至于期权的高阶和投机玩法，一定要谨慎。期权的买方最多就亏个权利金，但期权的卖方是大有机会爆仓的。
而投机玩法更讲求快准狠，回想今年2月，50ETF购2月2800（代码10001711）曾在1日内暴涨19266.67%，紧接着次日收盘大跌91.74%。

F. 什么是欧式看涨期权和欧式看跌期权

欧式期权是指只有在合约到期日才被允许执行的期权。

看涨期权则是估计这个股票会涨，可以在未来以一定的价格买进。看跌期权是估计估计会跌，可以在未来以一定价格卖出。

期权按照交割时间分为欧式和美式。欧式期权就是到了执行日才可执行的。美式是在最后执行日之前任意一天都可以的。

(6)欧式股票看跌期权p扩展阅读：

无论是欧式期权还是美式期权只是名称不同，并无任何地理上的意义。由于美式期权比欧洲式期权具有更大的回旋余地，通常更具有价值，所以，近些年来无论在美国或欧洲，美式期权均成为期权的主流，欧式期权虽也存在但交易量却比美式期权逊色得多。

G. 关于欧式看涨期权的一道计算题。求解！

(1)看涨期权定价公式：C=SN(d1)-Kexp[-r(T-t)]Nd(d2)
d1=[ln(S/K)+(r+sigma^2/2)*(T-t)]/(sigma*sqrt(T-t))
d2=d1-sigma*sqrt(T-t)
根据题意，S=30，K=29，r=5%,sigma=25%,T-t=4/12=0.3333
d1=[ln(30/29)+(0.05+0.0625/2)*0.3333]/(0.25*sqrt(0.3333))=0.4225
d2=d1-0.25*sqrt(0.3333)=0.2782
N(d1)=0.6637,N(d2)=0.6096
看涨期权的价格C=30*0.6637-29*0.9835*0.6096=2.5251
(2)看跌期权的定价公式：P=Kexp[-r(T-t)][1-Nd(d2)]-S*[1-N(d1)]
看跌期权的价格P=29*0.9835*0.3904-30*0.3363=1.0467
(3)看涨看跌期权平价关系
C-P=S-Kexp[-r(T-t)]
左边=2.5251-1.0467=1.4784，右边=30-29*0.9835=1.4784
验证表明，平价关系成立。

H. BS模型是什么

BS模型即BS期权定价模型，指的是布莱克-斯克尔斯期权定价模型，其全称是Black-Scholes-Merton Option Pricing Model。bs模型可以对利率期权、汇率期权、互换期权以及远期利率协定的期权滑芹态进行定价，也可以在相应品种的远期和期权间进行套利，这些套利在海外的场外衍生品市场也较为流行。
BS期权定价公式
BS期首物权定价公式为：信源C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）
BS模型参数估计
1、无风险利率的估计
期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。
这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。
模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。
连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
2、标准差的估计
BS模型的基本假设
1、在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；
2、任何证券购买者都能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；
3、短期的无风险利率是已知的，并且在寿命期内保持不变；
4、股票或期权的买卖没有交易成本；
5、允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；
6、所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走；
7、期权为欧式期权，只能在到期日执行；
8、股票价格服从对数正态分布。

I. 1.试推导出欧式看涨看跌期权的价格平价等式。2.上题中是否存在套利机会，如何套利

1.欧式看涨期权理论价格C=SN(d1)-N(d2)Ke^[-r(T-t)]，欧式看跌期权理论价格P=N(-d2)Ke^[-r(T-t)]-SN(-d1)，把看涨期权理论价格公式减去看跌期权理论价格公式化简后可得Call-Put平价公式为P+S=C+Ke^[-r(T-t)]

2.根据平价公式依题意可知，K=45，C=8，P=1，e^-r=1/(1+10%)，T-t=3/12=1/4，S=50。
(注：题目中没有说明无风险利率是否连续，这是按不连续算的e^-r，由于是3个月期，对于T-t是按年化来计算的。)
把相关数值代入平价公式可得1+50<8+45/(1+10%)^(1/4)=51.94，存在套利机会。

应该通过持有该期权标的物和买入看跌期权，并且卖出看涨期权构成一个套利头寸组合。
3.当股票价格为40元，看跌期权进行行权，获得5元(45-40)的期权价值，扣除1元购入看跌期权成本，实际获利4元；标的物股票亏损10元(50-40)；卖出的看涨期权，由于标的物股票价格低于执行价格，故此看涨期权是不会行权的，所以卖出的看涨期权获利为卖出时的期权费8元。综合上述情况，套利利润为4-10+8=2元。